Beauté mathématique

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La beauté mathématique est un sentiment de beauté que certaines personnes ressentent face aux mathématiques.

Citations

Caterina Consani

Avec les mathématiques nous inventons des théories qui donnent une organisation abstraite à une multitude de possibilités. Et nous parlons de beauté dans une discussion mathématique, lorsque nos efforts pour créer des structures inédites sont récompensés par la découverte de nouvelles relations cachées, que nous n’avions jamais encore vues, dont nous percevons la symétrie intrinsèque et peut-être le lien nouveau et inattendu qui nous mènera vers une autre branche.

• Les Déchiffreurs

• Les déchiffreurs : voyage en mathématiques, Jean-François Dars, Annick Lesne et Anne Papillault, éd. Belin, 2008  (ISBN 978-2-7011-4737-6), p. 114

• « De la beauté », Valerio Vassallo, Images des mathématiques, 2010 (lire en ligne)

• Citation choisie pour le 22 mai 2021.

Maria J. Esteban

Chaque fois que j’entends parler de la beauté des mathématiques, de manière systématique j’ajoute que oui, elles sont belles, très belles même, mais qu’il ne faut surtout pas oublier qu’elles sont très utiles.

• La maison des mathématiques, Cédric Villani, Jean-Philippe Uzan et Vincent Moncorgé, éd. Cherche Midi, 2014  (ISBN 978-2-7491-3353-9), chap. Les mathématiques du concret, p. 109

• Citation choisie pour le 10 février 2022.

Carl Friedrich Gauss

Le goût pour les sciences abstraites en général et surtout pour les mystères des nombres est fort rare : on ne s’en étonne pas ; les charmes enchanteurs de cette sublime science ne se décèlent dans toute leur beauté qu’à ceux qui ont le courage de l’approfondir.

• Extrait d'une lettre de Gauss à Sophie Germain, 30 Avril 1807.

• Œuvres philosophiques de Sophie Germain, Hippolyte Stupuy, éd. Librairie de Firmin-Didot et Cie, 1896, p. 275 (texte intégral sur Wikisource)

Étienne Ghys

Les mathématiciens ne sont-ils pas tombé dans ce pêché d’orgueil qui les ferait croire que l’évolution de leur science se fait en permanence vers un optimum universel, vers une beauté intrinsèque, indépendamment des lieux, des cultures et de l’histoire ? Pourquoi la beauté mathématique serait-elle universelle, dans l’espace et dans le temps ? Vous connaissez probablement la citation de Voltaire : « Demandez à un crapaud ce que c’est que la beauté, le grand beau, [...]. Il vous répondra que c’est sa crapaude avec deux gros yeux ronds sortant de sa petite tête, une gueule large et plate, un ventre jaune, un dos brun. »

• « La beauté des Mathematiques », Étienne Ghys, dans Le beau, l'art et l'Homme : émergence du sens de l'esthétique, Henry Lumley (dir.), éd. CNRS, 2014  (ISBN 978-2-271-08079-0), p. 22-23 (lire en ligne)

Alexandre Grothendieck

Mon principal guide dans mon travail a été la recherche constante d’une cohérence parfaite, d’une harmonie complète que je devinais derrière la surface turbulente des choses, et que je m’efforçais de dégager patiemment, sans jamais m’en lasser. C’était un sens aigu de la « beauté », sûrement, qui était mon flair et ma seule boussole. Ma plus grande joie a été, moins de la contempler quand elle était apparue en pleine lumière, que de la voir se dégager peu à peu du manteau d’ombre et de brumes où il lui plaisait de se dérober sans cesse.

• (39) Belle de nuit, belle de jour – ou les écuries d'Augias [102].

• Récoltes et semailles (I), Alexandre Grothendieck, éd. Gallimard, 2021  (ISBN 978-2-07-295912-7), chap. Fatuité et renouvellement. IV. Récoltes, p. 319

Sans un minimum d’ouverture à la beauté des choses, j’aurais été bien incapable de « fonctionner » comme mathématicien, même à un régime des plus modestes - et je doute que quiconque puisse faire travail utile en mathématiques, s’il ne reste vivant en lui, tant soit peu, ce sens de la beauté. Ce n’est pas tant, me semble-t-il, une prétendue « puissance cérébrale » qui fait la différence entre tel mathématicien et tel autre, ou entre tel travail et tel autre du même mathématicien ; mais plutôt la qualité de finesse, de délicatesse plus ou moins grande de cette ouverture ou sensibilité, d’un chercheur à un autre ou d’un moment à l’autre chez le même chercheur. Le travail le plus profond, le plus fécond est celui aussi qui atteste de la sensibilité la plus déliée pour appréhender la beauté cachée des choses.

• (40) La mathématique sportive [103].

• Récoltes et semailles (I), Alexandre Grothendieck, éd. Gallimard, 2021  (ISBN 978-2-07-295912-7), chap. Fatuité et renouvellement. IV. Récoltes, p. 320

Une telle sensibilité délicate à la beauté me semble intimement liée à une chose dont j’ai eu occasion de parler sous le nom de « exigence » (vis-à-vis de soi) ou de « rigueur » (au plein sens du terme), que je décrivais comme une « attention à quelque chose de délicat en nous-mêmes », une attention à une qualité de compréhension de la chose sondée. Cette qualité de compréhension d’une chose mathématique ne peut être séparée d’une perception plus ou moins intime, plus ou moins parfaite de la « beauté » particulière à cette chose.

• Note 36 [166].

• Récoltes et semailles (I), Alexandre Grothendieck, éd. Gallimard, 2021  (ISBN 978-2-07-295912-7), chap. Notes pour la première partie de Récoltes et semailles, p. 397

G. H. Hardy

Les formes créées par les mathématiciens, comme celles créées par le peintre ou le poète, doivent être belles ; les idées, comme les couleurs ou les mots, doivent s’agencer harmonieusement. La beauté est le premier critère : il n’y a pas en ce monde de place permanente pour des mathématiques laides.

• Hardy, 1877-1947 : L'Apologie d'un mathématicien ; Ramanujan, un mathématicien indien ; Bertrand Russell et le Collège de la Trinité, G. H. Hardy (trad. Dominique Jullien et Serge Yoccoz), éd. Belin, 1985  (ISBN 2-7011-0530-7), chap. X, p. 23

• Citation choisie pour le 3 février 2022.

[…] un problème d’échecs est tout simplement un exercice de mathématiques pures (ce n’est pas tout à fait le cas pour une partie, puisque la psychologie y a aussi sa part) et parler d’un « beau » problème, c’est célébrer la beauté mathématique, même si c’est une beauté d’un genre relativement inférieur. Les problèmes d’échecs chantent les louanges des mathématiques.

• Hardy, 1877-1947 : L'Apologie d'un mathématicien ; Ramanujan, un mathématicien indien ; Bertrand Russell et le Collège de la Trinité, G. H. Hardy (trad. Dominique Jullien et Serge Yoccoz), éd. Belin, 1985  (ISBN 2-7011-0530-7), chap. X, p. 24

Un problème d’échecs est authentiquement mathématique, mais ce sont là, d’une certaine façon, des mathématiques « triviales ». Pour aussi ingénieux et compliqué qu’il soit, pour aussi originaux et surprenant que soient les coups, il y manque quelque chose d’essentiel. Les problèmes d’échecs ne sont pas importants. Les meilleures mathématiques sont non seulement belles mais sérieuses – « importantes », si vous voulez, mais le terme est très ambigu, et « sérieuses » exprime bien mieux ma pensée.

• Hardy, 1877-1947 : L'Apologie d'un mathématicien ; Ramanujan, un mathématicien indien ; Bertrand Russell et le Collège de la Trinité, G. H. Hardy (trad. Dominique Jullien et Serge Yoccoz), éd. Belin, 1985  (ISBN 2-7011-0530-7), chap. XI, p. 25

Jean-Pierre Kahane

Rien n'est plus beau en mathématiques qu'une belle démonstration, rien n'est plus bouleversant que de découvrir une démonstration par ses seules forces.

• « Profession de foi », dans Mathématiques au collège : les enjeux d'un enseignement pour tous, Jean-Pierre Kahane, éd. IREM de Lille, 1999  (ISBN 2-912126-08-8), p. np (lire en ligne)

Pourquoi faut-il enseigner les mathématiques aujourd'hui ? […] Une formule qui vient à l'esprit est qu'il faut enseigner les mathématiques parce qu'elles sont belles et utiles. Mais, comme toute formule, elle nécessite explication. Les mathématiques sont utiles de bien des manières. La première utilité que leur reconnaissent d'éminents collègues d'autres disciplines est qu'elles concourent à la formation de l'esprit. Elles forcent à expliciter les évidences, à décomposer les difficultés, à enchaîner les résultats, à dénombrer tous les cas possibles : elles sont la logique cartésienne en action. Elles articulent de manière originale mémoire et raisonnement, imagination et rigueur.

• Déjà partiellement dans sa « Profession de foi », 1999.

• L'enseignement des sciences mathématiques, Jean-Pierre Kahane, éd. Centre national de documentation pédagogique/Odile Jacob, 2002  (ISBN 978-2-7381-1138-8), chap. Prologue, p. 12 (lire en ligne)

À tous les niveaux, les mathématiques sont belles, et le sentiment de cette beauté sera d'autant mieux perçu par les élèves que les professeurs en seront mieux imprégnés.

• Initialement dans sa « Profession de foi », 1999.

• L'enseignement des sciences mathématiques, Jean-Pierre Kahane, éd. Centre national de documentation pédagogique/Odile Jacob, 2002  (ISBN 978-2-7381-1138-8), chap. Prologue, p. 14 (lire en ligne)

Il y a des amateurs de mathématique comme il y a des amateurs de peinture, on parle de jolis énoncés, de belles démonstrations, de constructions admirables. La joie de comprendre et de découvrir est commune aux mathématiques et à tous les arts.

• L'enseignement des sciences mathématiques, Jean-Pierre Kahane, éd. Centre national de documentation pédagogique/Odile Jacob, 2002  (ISBN 978-2-7381-1138-8), chap. Prologue, p. 15 (lire en ligne)

Henri Poincaré

[Les mathématiques] doivent fournir un instrument pour l’étude de la nature […] elles ont un but philosophique et, j’ose le dire, un but esthétique.[…] Leurs adeptes y trouvent des jouissances analogues à celles que donnent la peinture et la musique. Ils admirent la délicate harmonie des nombres et des formes ; ils s’émerveillent quand une découverte nouvelle leur ouvre une perspective inattendue ; et la joie qu’ils éprouvent ainsi n’a-t-elle pas le caractère esthétique, bien que les sens n’y prennent aucune part ? Peu de privilégiés sont appelés à la goûter pleinement, cela est vrai, mais n’est-ce pas ce qui arrive pour les arts les plus nobles ?

• Conférence de M. H. Poincaré au congrès international des mathématiciens, à Zürich, en 1897.

• « Sur les rapports de l'analyse pure et de la physique mathématique », Henri Poincaré, Acta Mathematica, nº 21, 1897, p. 332 (lire en ligne)

On peut s'étonner de voir invoquer la sensibilité à propos de démonstrations mathématiques, qui, semble-t-il, ne peuvent intéresser que l'intelligence. Ce serait oublier le sentiment de la beauté mathématique, de l’harmonie des nombres et des formes, de l'élégance géométrique. C'est un véritable sentiment esthétique que tous les vrais mathématiciens connaissent. Et c'est bien là de la sensibilité. [...] Cette harmonie est à la fois une satisfaction pour nos besoins esthétiques et une aide pour l’esprit, qu’elle soutient et qu’elle guide. Et, en même temps, en mettant sous nos yeux un tout bien ordonné, elle nous fait pressentir une loi mathématique. […] Les combinaisons utiles, ce sont précisément les plus belles, je veux dire celles qui peuvent le mieux charmer cette sensibilité spéciale que tous les mathématiciens connaissent, mais que les profanes ignorent au point qu’ils sont souvent tentés d’en sourire.

• Science et méthode (1908), Henri Poincaré, éd. Flammarion, 1947, chap. L'invention mathématique, p. 57-58 (texte intégral sur Wikisource)

David Ruelle

Peut-on dire ce qui fait la beauté des mathématiques ? Je voudrais proposer une réponse à cette question : je pense que la beauté des mathématiques consiste dans la découverte de la simplicité et de la complexité cachées qui coexistent dans le cadre logique rigide imposé par le sujet. Bien sûr, l'interaction réciproque et la tension entre simplicité et complexité sont aussi un élément de l'art et de la beauté en dehors des mathématiques. Ainsi, la beauté que nous trouvons dans les mathématiques n'est pas sans rapport avec la beauté que notre nature humaine voit dans d'autres domaines; et le fait que nous soyons attirés à la fois par la simplicité et la complexité, deux concepts contradictoires, convient à notre illogique nature humaine. Cependant, de manière remarquable, le choc entre la simplicité et la complexité est intrinsèque aux mathématiques ; ce n'est pas une construction humaine. C'est peut-être la raison de la beauté des mathématiques : elles incarnent naturellement la simplicité et la complexité vers lesquelles nous tendons.

• L'étrange beauté des mathématiques (2008), David Ruelle, éd. Odile Jacob, 2013  (ISBN 978-2-7381-2624-5), chap. 23. La beauté des mathématiques, p. 192-193

Ce qui me frappe dans les mathématiques c’est le contraste, le mélange, entre les choses extrêmement simples et les choses extrêmement compliquées […] En mathématique on a l’impression que ça fait partie de la nature même des mathématiques, que certaines choses simples auxquelles on s’intéresse mènent inéluctablement à des situations extrêmement complexes, et que d’autre part derrière certaines situations extrêmement complexes on retrouve une certaine simplicité. Donc peut-être que c’est ça qui, pour les mathématiciens, fait la beauté du sujet.

• Question : « Peut-on dire ce qui fait la beauté des mathématiques ? »

• Elodie Courtejoie, Au fil des pages : « L’étrange beauté des mathématiques avec David Ruelle, membre de l’Académie des sciences », Canal Académies, 2009

Bertrand Russell

Mémorial Alan Turing : « Father of computer science, mathematician, logician, wartime codebreaker, victim of prejudice », suivi de la citation de Bertrand Russell sur la beauté mathématique : « Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth but supreme beauty, a beauty cold and austere like that of sculpture. »

Bien considérées, les mathématiques possèdent non seulement la vérité, mais encore la beauté suprême – une beauté froide et austère, comme celle de la sculpture, qui ne s’adresse en rien à notre faible nature, et qui, dépouillée des attraits somptueux de la peinture et de la musique, est cependant sublimement pure et empreinte d’une perfection sévère que seul manifeste l’art le plus élevé.

• 1907, New Quaterly.

• Mysticisme et logique, Bertrand Russell (trad. Denis Vernant), éd. Vrin, 2007  (ISBN 978-2-7116-1926-9), chap. IV. L’étude des mathématiques, p. 77

Jean-Philippe Uzan

De l’extérieur, les mathématiques poussent souvent à l’admiration. Elles donneraient une aura presque cabalistique à la science. Cela souligne une dimension supplémentaire des mathématiques, que nous ne pouvons pas ignorer. Elles seraient belles.
Comme le souligne Bertrand Russell, « les mathématiques ne possèdent pas seulement la vérité, mais la beauté suprême, une beauté froide et austère, comme celle d’une sculpture, sans référence à une partie de notre fragile nature. »

• The Study of Mathematics, écrit 1902, publié en 1907.

• La maison des mathématiques, Cédric Villani, Jean-Philippe Uzan et Vincent Moncorgé, éd. Cherche Midi, 2014  (ISBN 978-2-7491-3353-9), chap. L’univers des mathématiques et les tréfonds du cosmos, p. 38

Nos cinq sens nous permettent d’apprécier la peinture, la musique, la gastronomie, la littérature, le cinéma etc.; le monde mathématique quant à lui n’est accessible qu’à notre raisonnement. La beauté des mathématiques et des théories scientifiques est associée à ce monde abstrait des idées. Elle est liée aux relations harmonieuses entre des concepts en équilibre s’agençant avec simplicité pour laisser apparaître des constructions inattendues et dévoilant un tout cohérent, comme un édifice architectural léger dont les plans de construction nous échappent.

• La maison des mathématiques, Cédric Villani, Jean-Philippe Uzan et Vincent Moncorgé, éd. Cherche Midi, 2014  (ISBN 978-2-7491-3353-9), chap. L’univers des mathématiques et les tréfonds du cosmos, p. 38

Cédric Villani

La question de l'esthétique des mathématiques, qui était d'ailleurs fondamentale dans l'exposition Mathématiques un dépaysement soudain, est très important également. Les visiteurs de l'exposition étaient frappés, mais aussi très surpris par la beauté qui se dégageait des installations. Parler d'esthétique en mathématiques est en effet quelque chose de très surprenant pour le grand public, alors que pour les mathématiciens, c'est d'une trivialité… — ils sont même surpris qu'on leur pose la question !

• Mathématiques en liberté, Pierre Cartier, Jean Dhombres, Gerhard Heinzmann, Cédric Villani, éd. La ville brule, 2012  (ISBN 9782360120260), p. 68

la mise en scène dans un contexte inattendu d'objets mathématiques peut aussi se faire visuellement avec des formes, ainsi que s'y est essayé Man Ray avec la collection de modèles géométriques de l'Institut Henri-Poincaré, dans les années 1930. Il n'y comprenait goutte, mais y a vu une certaine beauté - non seulement il appréciait la beauté formelle des courbes, l'esthétique de ces objets, mais il était fasciné par le fait qu'ils avaient été réalisés de main d'homme, pour représenter des concepts nés dans un cerveau humain. Il y devinait quelque chose d'important.

• Les mathématiques sont la poésie des sciences, Cédric Villani, éd. Flammarion, 2018, p. 18

Hermann Weyl

Mon travail a toujours consisté à unir la vérité et la beauté, mais quand j’ai eu à choisir l'une ou l'autre, j'ai toujours choisi la beauté.

• « Les sept merveilles du monde... mathématique », Loïc Mangin, Pour la science, nº 74, Les grands problèmes mathématiques, Janvier-Mars 2012, p. en ligne

Ludwig Wittgenstein

Le mathématicien (Pascal) qui admire la beauté d’un théorème de la théorie des nombres ; on dirait qu’il admire une beauté de la nature. Il est admirable de voir, dit-il, quelles magnifiques propriétés les nombres possèdent. Comme s’il admirait la régularité d’une sorte de cristal.

• 1942

• Remarques mêlées, Ludwig Wittgenstein (trad. Gérard Granel), éd. Flammarion, 2002  (ISBN 2-08-070815-5), p. 103

Don Zagier

Lorsque nous parlons des mathématiques « en tant qu’art », nous ne pensons pas, en réalité, à ces relations entre les mathématiques et les autres arts, aussi multiples et intéressantes soient-elles, mais plutôt au fait que les mathématiques elles-mêmes sont de l’art. Les critères esthétiques qui jouent un rôle ici ne reposent pas forcément sur la beauté visuelle, en dépit d’exemples comme les solides platoniciens ou les fractales, mais sont de nature beaucoup plus abstraite : la brièveté, la simplicité, la clarté et la force de persuasion absolue des argumentations et des idées qui y apparaissent.

• « Une passion pour les mathématiques », Don Zagier, dans Mathématiques, un dépaysement soudain, (dir.) Jean-Pierre Bourguignon, Michel Cassé, Hervé Chandès, éd. Fondation Cartier pour l'art contemporain, 2011  (ISBN 978-2-86925-095-6), p. 93 (lire en ligne)

Ce sentiment de la beauté mathématique s’impose même souvent comme le guide le plus sûr dans le choix du meilleur chemin pour traverser le labyrinthe des mathématiques, comme une sorte de fil d’Ariane. […] Pratiquer selon des critères esthétiques n’est pas une obligation absolue et il arrive que la bonne solution d’un problème ne soit pas la plus belle, mais dans une large majorité des cas le bon chemin mathématique se révèle aussi être le meilleur d’un point de vue esthétique. Il n’y a pas de meilleure stratégie, quand on veut faire de bonnes mathématiques, que de chercher toujours la plus belle solution.

• « Une passion pour les mathématiques », Don Zagier, dans Mathématiques, un dépaysement soudain, (dir.) Jean-Pierre Bourguignon, Michel Cassé, Hervé Chandès, éd. Fondation Cartier pour l'art contemporain, 2011  (ISBN 978-2-86925-095-6), p. 94 (lire en ligne)