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Beauté mathématique

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La beauté mathématique est un sentiment de beauté que certaines personnes ressentent face aux mathématiques.

Citations

Jean-Pierre Bourguignon

Caterina Consani

Avec les mathématiques nous inventons des théories qui donnent une organisation abstraite à une multitude de possibilités. Et nous parlons de beauté dans une discussion mathématique, lorsque nos efforts pour créer des structures inédites sont récompensés par la découverte de nouvelles relations cachées, que nous n’avions jamais encore vues, dont nous percevons la symétrie intrinsèque et peut-être le lien nouveau et inattendu qui nous mènera vers une autre branche.
  • Les Déchiffreurs
  • Les déchiffreurs : voyage en mathématiques, Jean-François Dars, Annick Lesne et Anne Papillault, éd. Belin, 2008  (ISBN 978-2-7011-4737-6), p. 114
  • « De la beauté », Valerio Vassallo, Images des mathématiques, 2010 (lire en ligne)


Paul Erdős

Maria J. Esteban

Chaque fois que j’entends parler de la beauté des mathématiques, de manière systématique j’ajoute que oui, elles sont belles, très belles même, mais qu’il ne faut surtout pas oublier qu’elles sont très utiles.


Carl Friedrich Gauss

Étienne Ghys

Les mathématiciens ne sont-ils pas tombé dans ce pêché d’orgueil qui les ferait croire que l’évolution de leur science se fait en permanence vers un optimum universel, vers une beauté intrinsèque, indépendamment des lieux, des cultures et de l’histoire ? Pourquoi la beauté mathématique serait-elle universelle, dans l’espace et dans le temps ? Vous connaissez probablement la citation de Voltaire : « Demandez à un crapaud ce que c’est que la beauté, le grand beau, [...]. Il vous répondra que c’est sa crapaude avec deux gros yeux ronds sortant de sa petite tête, une gueule large et plate, un ventre jaune, un dos brun. »
  • « La beauté des Mathematiques », Étienne Ghys, dans Le beau, l'art et l'Homme : émergence du sens de l'esthétique, Henry Lumley (dir.), éd. CNRS, 2014  (ISBN 978-2-271-08079-0), p. 22-23


Alexandre Grothendieck

Mon principal guide dans mon travail a été la recherche constante d’une cohérence parfaite, d’une harmonie complète que je devinais derrière la surface turbulente des choses, et que je m’efforçais de dégager patiemment, sans jamais m’en lasser. C’était un sens aigu de la « beauté », sûrement, qui était mon flair et ma seule boussole. Ma plus grande joie a été, moins de la contempler quand elle était apparue en pleine lumière, que de la voir se dégager peu à peu du manteau d’ombre et de brumes où il lui plaisait de se dérober sans cesse.
  • (39) Belle de nuit, belle de jour – ou les écuries d'Augias [102].
  • Récoltes et semailles (I), Alexandre Grothendieck, éd. Gallimard, 2021  (ISBN 978-2-07-295912-7), chap. Fatuité et renouvellement. IV. Récoltes, p. 319


Sans un minimum d’ouverture à la beauté des choses, j’aurais été bien incapable de « fonctionner » comme mathématicien, même à un régime des plus modestes - et je doute que quiconque puisse faire travail utile en mathématiques, s’il ne reste vivant en lui, tant soit peu, ce sens de la beauté. Ce n’est pas tant, me semble-t-il, une prétendue « puissance cérébrale » qui fait la différence entre tel mathématicien et tel autre, ou entre tel travail et tel autre du même mathématicien ; mais plutôt la qualité de finesse, de délicatesse plus ou moins grande de cette ouverture ou sensibilité, d’un chercheur à un autre ou d’un moment à l’autre chez le même chercheur. Le travail le plus profond, le plus fécond est celui aussi qui atteste de la sensibilité la plus déliée pour appréhender la beauté cachée des choses.
  • (40) La mathématique sportive [103].
  • Récoltes et semailles (I), Alexandre Grothendieck, éd. Gallimard, 2021  (ISBN 978-2-07-295912-7), chap. Fatuité et renouvellement. IV. Récoltes, p. 320


Une telle sensibilité délicate à la beauté me semble intimement liée à une chose dont j’ai eu occasion de parler sous le nom de « exigence » (vis-à-vis de soi) ou de « rigueur » (au plein sens du terme), que je décrivais comme une « attention à quelque chose de délicat en nous-mêmes », une attention à une qualité de compréhension de la chose sondée. Cette qualité de compréhension d’une chose mathématique ne peut être séparée d’une perception plus ou moins intime, plus ou moins parfaite de la « beauté » particulière à cette chose.
  • Note 36 [166].
  • Récoltes et semailles (I), Alexandre Grothendieck, éd. Gallimard, 2021  (ISBN 978-2-07-295912-7), chap. Notes pour la première partie de Récoltes et semailles, p. 397


G. H. Hardy

Les formes créées par les mathématiciens, comme celles créées par le peintre ou le poète, doivent être belles ; les idées, comme les couleurs ou les mots, doivent s’agencer harmonieusement. La beauté est le premier critère : il n’y a pas en ce monde de place permanente pour des mathématiques laides.
  • Hardy, 1877-1947 : L'Apologie d'un mathématicien ; Ramanujan, un mathématicien indien ; Bertrand Russell et le Collège de la Trinité, G. H. Hardy (trad. Dominique Jullien et Serge Yoccoz), éd. Belin, 1985  (ISBN 2-7011-0530-7), chap. X, p. 23


[…] un problème d’échecs est tout simplement un exercice de mathématiques pures (ce n’est pas tout à fait le cas pour une partie, puisque la psychologie y a aussi sa part) et parler d’un « beau » problème, c’est célébrer la beauté mathématique, même si c’est une beauté d’un genre relativement inférieur. Les problèmes d’échecs chantent les louanges des mathématiques.
  • Hardy, 1877-1947 : L'Apologie d'un mathématicien ; Ramanujan, un mathématicien indien ; Bertrand Russell et le Collège de la Trinité, G. H. Hardy (trad. Dominique Jullien et Serge Yoccoz), éd. Belin, 1985  (ISBN 2-7011-0530-7), chap. X, p. 24


Un problème d’échecs est authentiquement mathématique, mais ce sont là, d’une certaine façon, des mathématiques « triviales ». Pour aussi ingénieux et compliqué qu’il soit, pour aussi originaux et surprenant que soient les coups, il y manque quelque chose d’essentiel. Les problèmes d’échecs ne sont pas importants. Les meilleures mathématiques sont non seulement belles mais sérieuses – « importantes », si vous voulez, mais le terme est très ambigu, et « sérieuses » exprime bien mieux ma pensée.
  • Hardy, 1877-1947 : L'Apologie d'un mathématicien ; Ramanujan, un mathématicien indien ; Bertrand Russell et le Collège de la Trinité, G. H. Hardy (trad. Dominique Jullien et Serge Yoccoz), éd. Belin, 1985  (ISBN 2-7011-0530-7), chap. XI, p. 25


Henri Poincaré

[Les mathématiques] doivent fournir un instrument pour l’étude de la nature […] elles ont un but philosophique et, j’ose le dire, un but esthétique.[…] Leurs adeptes y trouvent des jouissances analogues à celles que donnent la peinture et la musique. Ils admirent la délicate harmonie des nombres et des formes ; ils s’émerveillent quand une découverte nouvelle leur ouvre une perspective inattendue ; et la joie qu’ils éprouvent ainsi n’a-t-elle pas le caractère esthétique, bien que les sens n’y prennent aucune part ? Peu de privilégiés sont appelés à la goûter pleinement, cela est vrai, mais n’est-ce pas ce qui arrive pour les arts les plus nobles ?
  • « Sur les rapports de l'analyse pure et de la physique mathématique », Henri Poincaré, Acta Mathematica, nº 21, 1897, p. 332 (lire en ligne)


On peut s'étonner de voir invoquer la sensibilité à propos de démonstrations mathématiques, qui, semble-t-il, ne peuvent intéresser que l'intelligence. Ce serait oublier le sentiment de la beauté mathématique, de l’harmonie des nombres et des formes, de l'élégance géométrique. C'est un véritable sentiment esthétique que tous les vrais mathématiciens connaissent. Et c'est bien là de la sensibilité. [...] Cette harmonie est à la fois une satisfaction pour nos besoins esthétiques et une aide pour l’esprit, qu’elle soutient et qu’elle guide. Et, en même temps, en mettant sous nos yeux un tout bien ordonné, elle nous fait pressentir une loi mathématique. […] Les combinaisons utiles, ce sont précisément les plus belles, je veux dire celles qui peuvent le mieux charmer cette sensibilité spéciale que tous les mathématiciens connaissent, mais que les profanes ignorent au point qu’ils sont souvent tentés d’en sourire.


David Ruelle

Ce qui me frappe dans les mathématiques c’est le contraste, le mélange, entre les choses extrêmement simples et les choses extrêmement compliquées […] En mathématique on a l’impression que ça fait partie de la nature même des mathématiques, que certaines choses simples auxquelles on s’intéresse mènent inéluctablement à des situations extrêmement complexes, et que d’autre part derrière certaines situations extrêmement complexes on retrouve une certaine simplicité. Donc peut-être que c’est ça qui, pour les mathématiciens, fait la beauté du sujet.
  • Question : « Peut-on dire ce qui fait la beauté des mathématiques ?.


Bertrand Russell

[Elle est] froide et austère, comme celle d'une sculpture sans référence à quelque partie de notre nature fragile, sans les magnifiques illusions de la peinture ou de la musique, et pourtant pure et sublime, capable d'une stricte perfection que seuls les plus grands arts peuvent montrer.
  • (en) Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty—a beauty cold and austere, like that of sculpture, without appeal to any part of our weaker nature, without the gorgeous trappings of painting or music, yet sublimely pure, and capable of a stern perfection such as only the greatest art can show
  • Mysticism and Logic and Other Essays, Bertrand Russell, éd. Longmans, Green, 1918, chap. 4. The Study of Mathematics, p. 60 (texte intégral sur Wikisource)


Jean-Philippe Uzan

De l’extérieur, les mathématiques poussent souvent à l’admiration. Elles donneraient une aura presque cabalistique à la science. Cela souligne une dimension supplémentaire des mathématiques, que nous ne pouvons pas ignorer. Elles seraient belles.
Comme le souligne Bertrand Russell, « les mathématiques ne possèdent pas seulement la vérité, mais la beauté suprême, une beauté froide et austère, comme celle d’une sculpture, sans référence à une partie de notre fragile nature. »
  • The Study of Mathematics, écrit 1902, publié en 1907.
  • La maison des mathématiques, Cédric Villani, Jean-Philippe Uzan et Vincent Moncorgé, éd. Cherche Midi, 2014  (ISBN 978-2-7491-3353-9), chap. L’univers des mathématiques et les tréfonds du cosmos, p. 38


Nos cinq sens nous permettent d’apprécier la peinture, la musique, la gastronomie, la littérature, le cinéma etc.; le monde mathématique quant à lui n’est accessible qu’à notre raisonnement. La beauté des mathématiques et des théories scientifiques est associée à ce monde abstrait des idées. Elle est liée aux relations harmonieuses entre des concepts en équilibre s’agençant avec simplicité pour laisser apparaître des constructions inattendues et dévoilant un tout cohérent, comme un édifice architectural léger dont les plans de construction nous échappent.
  • La maison des mathématiques, Cédric Villani, Jean-Philippe Uzan et Vincent Moncorgé, éd. Cherche Midi, 2014  (ISBN 978-2-7491-3353-9), chap. L’univers des mathématiques et les tréfonds du cosmos, p. 38


Hermann Weyl

Mon travail a toujours consisté à unir la vérité et la beauté, mais quand j’ai eu à choisir l'une ou l'autre, j'ai toujours choisi la beauté.
  • « Les sept merveilles du monde... mathématique », Loïc Mangin, Pour la science, nº 74, Les grands problèmes mathématiques, Janvier-Mars 2012, p. en ligne


Voir aussi

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